Einfaches Modell für den Covid-19-Zeitverlauf

Corona-Krise Die logistische Funktion beschreibt den Anstieg und die Exponentialfunktion den Abfall der Epidemiewelle. Ein positiver Effekt von Regierungsmaßnahmen findet sich nicht.
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Wer uns dunkle Brillen empfiehlt, damit uns die Sonne nicht zu sehr in die Augen sticht, ist ein braver Kaufmann. Wer sie uns aufsetzt, damit wir glauben sollen, die Sonne scheine nicht, ist ein Gauner.

Erich Kästner, Als ich ein kleiner Junge war

In den letzten Wochen erscheinen in der Fachliteratur eine Reihe zueinander widersprüchlicher Analysen und Vorhersagen zur Covid-19-Epidemie, zum Teil auch in Zeitschriften mit weiter Verbreitung, wie etwa Science. Die meisten dieser Studien treffen eine Reihe mehr oder weniger zweifelhafter, jedenfalls aber schlecht belegter Annahmen. Auf dieser Grundlage bauen sie ein komplexes Modell auf, dessen Verhalten nicht mehr überschaubar ist, schon gar nicht für den gebildeten Laien. Dieses Modell wird dann an kleine Sätze stark streuender Daten angepasst, um schließlich etwas in die Daten hineinzugeheimnissen, was diese definitiv nicht hergeben. Diesem Muster will ich hier nicht folgen.

Stattdessen arbeite ich mit einem Minimum an Annahmen, verwende ein einfaches, auch für gebildete Laien überschaubares Modell und diskutiere dessen Grenzen. Aus dem Modell entnehme ich nur intuitiv verständliche Parameter, deren Bezug zu den Originaldaten in den Abbildungen klar ersichtlich ist. Auf dieser Basis und auf der Grundlage des quantitativen, inzwischen erweiterten Oxford Stringency and Policy Index überprüfe ich, ob Regierungsmaßnahmen einen Einfluss auf den zeitlichen Verlauf der Zahl positiver SARS-Cov2-Tests (21 Länder) oder die Covid-19 zugeschriebenen Todesfälle (14 Länder) hatten. Mit dem Abklingen der Epidemiewelle in weiteren Ländern wird diese Analyse auch auf diese anwendbar werden.

Das logistisch-exponentielle Modell

Aus beruflichen Gründen habe ich mir in dieser Woche wieder einmal den zeitlichen Verlauf der Zahl positiver SARS-Cov2-Tests in der Schweiz und ihren Nachbarländern angesehen. In den mit einem gleitenden 7-Tage-Mittel geglätteten Daten fiel mir ein einfaches und universelles Verhalten auf (Abbildung 1). Die Fallzahlen steigen mit einer Sigmoid-Funktion an. Der Anstieg geht recht abrupt in einen Abfall über, der zumindest auf den ersten Blick exponentiell wirkt. Das einfachste Modell dieser Art beschreibt den Anstieg durch die logistische Funktion 1/(1+e-x) und den Abfall durch einen exponentiellen Zerfall e-x. Wie in Abbildung 1 zu sehen ist, passt dieses empirische Modell (rote Kurven) die Daten gut an, insbesondere auch das gleitende 7-Tage-Mittel (blaue Kurven). Dass der Anstieg einer Epidemiewelle näherungsweise durch eine logistische – und nicht etwa eine exponentielle - Funktion beschrieben werden kann, war übrigens schon vor Covid-19 selbst der Wikipedia-bekannt. Da haben uns nur ein paar Leute belogen, die es besser gewusst haben müssen.

Das Modell hat fünf Parameter. Das sind die Sättigungsamplitude A der logistischen Funktion, die Halbzeit t1/2 des sigmoidalen Anstiegs, der Zeitpunkt t0, an dem der exponentielle Zerfall die Amplitude A hat, die Zeitkonstante Trise des Anstiegs und die Zeitkonstante Tdecay des exponentiellen Zerfalls. Wenn wir nur die Kurvenform betrachten, was zur Beurteilung der Effektivität von Maßnahmen genügt, dann interessiert uns nur die Differenz t0-t1/2, nicht der absolute Zeitpunkt der Welle. Details finden sich im Anhang A.

Für unsere Analyse interessieren uns ebenfalls vier Charakteristika: Wie schnell steigt die Welle an, wie schnell fällt sie ab, wie hoch ist die Fallzahl am Scheitelpunkt und wie viele Fälle gibt es insgesamt während der Welle. Wir wählen dafür anschaulichere Parameter. In Anlehnung an robuste ingenieurtechnische Kennzahlen aus der Messtechnik definieren wir die Anstiegszeit trise und Abfallzeit tdecay als die Zeiten, die zwischen 10% und 90% der Scheitelpunktamplitude im Anstieg und Abfall vergehen. Diese Parameter sind auch anschaulicher und psychologisch vertretbarer. Die Fallzahl Nmax am Scheitelpunkt und das normierte Integral unter der Welle Ntotal komplettieren den Parametersatz. Wenn die Welle abgeklungen ist, kann Ntotal durch Aufsummieren aller täglich gemeldeten Fallzahlen modellfrei ermittelt werden. Anstelle von Nmax würde man eigentlich besser die maximalen Belegungszahlen von Krankenhäusern und Intensivstationen analysieren. Diese Zahlen habe ich allerdings nur für die Schweiz. Veranschaulicht sind die verwendeten Parameter in Abbildung 1 im Diagramm für die Schweiz.

Typische Kurvenverläufe

Die in Abbildung 1 gezeigten Epidemiekurven sind aus Zahlen positiver SARS-Cov2-Tests abgeleitet. Sie weichen in den Anstiegs- und Abfallzeiten voneinander ab, weisen aber eine sehr ähnliche Form auf. Insbesondere ist der Übergang vom Anstieg zum Abfall recht abrupt, es tritt kein Plateau am Höhepunkt der Epidemiewelle auf. Dieses Verhalten beobachtet man auch in europäischen Übersterblichkeitsdaten, wo allerdings die Anstiegs- und Abfallzeiten viel weniger streuen. Auch Länder am Rande Europas, wie etwa die Türkei und weitab von Europa, wie etwa Australien, zeigen diesen Kurvenverlauf. Er ist aber für SARS-Cov2-Testdaten nicht universell (Abbildung 2). Ich nenne ihn deshalb den kontinentaleuropäischen Kurvenverlauf.

Der zweite, in der oberen Zeile von Abbildung 2 gezeigte typische Kurvenverlauf weist ein Plateau auf. Der Übergang vom sigmoidalen Anstieg zum exponentiellen Abfall erfolgt später - mathematisch formuliert ist (t0-t1/2)/Trise größer. Ich habe nicht zufällig Großbritannien, die USA und Kanada ausgewählt, um diesen Typ zu veranschaulichen. Es gibt sonst nur wenige derart auffällige Beispiele. Daher bezeichne ich diesen Typ als den angloamerikanischen.

Für sehr viele Länder in Südamerika und einige in Asien beobachtet man derzeit noch das in der unteren Zeile von Abbildung 2 dargestellte Verhalten. Die Kurvenanpassung liefert keine brauchbare Information über Nmax, t0, tmax, Tdecay und tdecay, weil nur der ansteigende Zweig charakterisiert werden kann. Journalisten diskutieren solche Länder derzeit besonders gern, weil man in Bezug auf diese noch im Trüben fischen und Panik verbreiten kann. In diesen Fällen zum jetzigen Zeitpunkt Rückschlüsse auf die Wirksamkeit von Regierungsmaßnahmen zu ziehen, wäre unseriös. Allerdings könnte es zumindest in einem Teil der Fälle schon möglich sein, den Parameter A des logistischen Anstiegs abzuschätzen, der eine obere Grenze für Nmax ist. Weil das eine Reihe von Tests zur Zuverlässigkeit erfordert, würde es heute den Rahmen sprengen. Es ist mein erster „Cliffhanger“ – ich werde die Frage der Vorhersagekraft des einfachen Modells wahrscheinlich am nächsten Wochenende diskutieren.

Die Daten in Abbildung 2 sind, anders als diejenigen in Abbildung 1, auf die Bevölkerungszahlen normiert (Fälle je 100‘000 Einwohner). Das ermöglicht bessere Ländervergleiche, wenn auch bei positiven SARS-Cov2-Tests nur solche, die stark von der Testintensität in den jeweiligen Ländern beeinflusst sind.

Grenzen des Modells

Insgesamt stehen im Offenen Datenportal der EU Testdaten von 206 Ländern zur Verfügung, von der Mehrheit darunter sind auch Sterbefalldaten verfügbar. Nicht in allen Fällen gelingt die Modellanpassung oder sie ist zumindest nicht zuverlässig. Dafür gibt es drei Ursachen, die in Abbildung 3 illustriert sind. Das linke Diagramm zeigt den Fall von Mauritius, in dem die Anpassung formell gelingt, in dem ich aber wegen der geringen Fallzahlen den Modellparametern nicht trauen würde. Ich habe deshalb Datensätze verworfen, bei denen die maximale Fallzahl an einem Tag zu klein ist.

Das mittlere Diagramm zeigt den Fall von China, wo zu einem späteren Zeitpunkt eine große Zahl von Tests nachgemeldet wurde. So etwas kommt auch bei Sterbefällen in einigen Ländern vor. Man könnte so etwas mit einer Annahme über die Verteilung der Fälle korrigieren, aber ich möchte keine schlecht begründeten Annahmen treffen. Korrigiert man nicht, so verzerrt der Ausreißer die Modellanpassung. Man kann den Ausreißer aber auch nicht einfach weglassen, denn die verspätet gemeldeten Fälle sind aller Wahrscheinlichkeit nach echt. Daher verwerfe ich in solchen Fällen den ganzen Datensatz. Das kommt selten vor.

Das rechte Diagramm zeigt den auffälligsten Fall, in dem das Modell augenscheinlich nicht passt. Es handelt sich um den Iran, in dem das Epidemiegeschehen komplexer ist. Nach einer ersten Welle bis etwa zum Tag 80 folgt eine zweite, relativ kurze, deren Form dem kontinentaleuropäischen Typ entspricht. Nach dem Abklingen dieser zweiten Welle erfolgt ein dritter Anstieg. Fälle von Modellversagen wie bei China oder dem Iran sind automatisiert dadurch zu erkennen, dass das Modell stark von der blauen Kurve des gleitenden 7-Tage-Mittelwerts abweicht, der sich die Modellkurve sonst anschmiegt. Dieses Kriterium sondert übrigens auch viele Länder mit geringen Fallzahlen aus. Details zum Ausschluss von Datensätzen finden sich im Anhang B.

Positive Tests, Sterbefälle und Übersterblichkeiten

Für die Interpretation ist nicht nur wichtig, ob das Modell den Zeitverlauf gut anpasst, sondern auch, welche Aussagen man aus dem Zeitverlauf ableiten darf und welche nicht. Ich habe mehrfach argumentiert, dass die absolute Zahl positiver SARS-Cov2-Tests für Ländervergleiche keinerlei Aussagekraft hat und dass selbst die Normierung auf die Bevölkerungszahl dem nicht abhilft. Der zeitliche Verlauf ist, zumindest nahe dem Höhepunkt der Welle, robuster, kann aber ebenfalls verfälscht sein, wenn sich die tägliche Zahl von Tests zeitlich ändert. Sterbefallzahlen sind zuverlässiger, können aber immer noch von der Testintensität beeinflusst sein. Am zuverlässigsten sind Exzessmortalitäten (Übersterblichkeitsdaten), die allerdings in gleichem Format nur für 19 europäische Staaten vorliegen.

Das Problem habe ich in Abbildung 4 anhand von Spanien, Großbritannien und Schweden veranschaulicht, wobei die Digitalisierung der EUROMOMO-Daten zur Übersterblichkeit noch aus der vorigen Woche stammt. In allen drei Ländern fallen die Covid-19 zugerechneten Todesfälle etwas langsamer ab als die Zahl der positiven SARS-Cov2-Tests. Das ist nicht unerwartet, weil die Zeitspanne zwischen festgestellter Infektion und dem Ableben für verschiedene Personen verschieden lang ist. In allen Fällen steigt die Übersterblichkeitskurve, bei der ich die Punkte in die Mitte der jeweiligen Woche gelegt habe, etwas eher an als die gemeldeten Covid-19-Sterbefälle. Auch das ist nicht unerwartet, weil die Übersterblichkeitsdaten Wochenmittel sind. Dass die Übersterblichkeiten etwas schneller abzufallen scheinen als die Covid-19-Sterbefälle, ist eine weitere Untersuchung wert, für die ich die EUROMOMO-Datenaktualisierung am 18. Juni abwarten werde. Bis dahin sollten die Daten für die abfallenden Zweige der Übersterblichkeiten in den meisten der 19 Länder hinreichend zuverlässig sein und zudem wird in Großbritannien und Schweden der Abfall der Covid-19 zugerechneten Todesfälle auch zuverlässiger an das Modell anpassbar sein. Das ist also mein zweiter „Cliffhanger“.

Auffällig ist in Abbildung 4 für Großbritannien und Schweden allerdings bereits jetzt, dass das ausgeprägte Plateau bei der Zahl positiver SARS-Cov2-Tests nicht bei den Covid-19 zugerechneten Todesfällen zu beobachten ist. Im Fall von Großbritannien kann man das sicherlich auch nicht der Streuung der Daten zurechnen. Im Moment habe ich dafür nur hochspekulative mögliche Erklärungen. Auch in dieser Frage möchte ich lieber noch zwei Wochen warten, ehe ich mich äußere.

Variabilität des zeitlichen Verlaufs

Während der Anstieg der Übersterblichkeitswellen in Europa kaum variiert, zeigen schon die Abbildungen 1-4 des heutigen Blogposts, dass der zeitliche Verlauf der Epidemiewellen im weltweiten Vergleich sehr wohl variiert. Selbst in Europa sind zumindest die Zeitkonstanten des exponentiellen Abfalls und damit die Abfallzeiten tdecay recht unterschiedlich und das sowohl bei der Zahl positiver SARS-Cov2-Tests als auch bei den Covid-19 zugerechneten Todesfällen. Abbildung 5 zeigt, wie stark die Anstiegs- und Abfallzeiten variieren. Am Günstigsten ist es dabei, wenn der Anstieg langsam verläuft, weil das eine bessere Anpassung von Gesellschaft und Gesundheitswesen ermöglicht, und wenn der Abfall schnell ist, weil die Epidemie dann schnell vorüber ist und es während des Abfalls weniger Sterbefälle gibt. Die Verlangsamung des Anstiegs war das Ziel der von der WHO empfohlenen und von den Regierungen umgesetzten Maßnahmen. Anfangs wurde behauptet, dass das dann auch zu einer zeitlichen Streckung des Abfalls führe. Das ist zunächst einmal nicht zwingend, weil die intendierte Verringerung des R-Werts (Anzahl der durch eine infizierte Person erfolgenden weiteren Ansteckungen) in einer einfachen Betrachtung auch zu einem schnelleren Abfall führen sollte. Anders kann das nur sein, wenn der Abfall hauptsächlich durch Herdenimmunität bedingt ist, die in den Ländern geringer wäre, in denen die Maßnahmen erfolgreich waren.

In Europa variieren die Anstiegszeiten der positiven SARS-Cov-2 Tests um reichlich einen Faktor von 2,5, wobei Sambia und Südkorea noch schneller Anstiege aufweisen. Die Abfallzeiten variieren in Europa um fast einen Faktor von 3, weltweit um fast einen Faktor von 6. Einige asiatische Länder mit bereits recht weitgehend abgeklungener Epidemie sowie Australien liegen im Bereich der europäischen Länder.

Eine ähnliche Spreizung findet man bei den Anstiegs- und Abfallzeiten der Sterbezahlen. Hier können auch die USA und der Iran betrachtet werden. Während die Zahl der der positiven SARS-Cov-2 Tests in den USA noch nicht auf 1/e des Maximalwerts abgefallen ist, trifft das auf die Zahl der Sterbefälle zu. Während der Iran einen sehr komplexen Verlauf der Testzahlen aufweist, der keine Modellanpassung zulässt (Abbildung 3), ist der Verlauf der Sterbefallzahlen nicht komplex und durch das einfache Modell anpassbar. Insgesamt gibt es 22 Datensätze, in denen der Verlauf der Zahl der positiven SARS-Cov-2 Tests gut durch das Modell angepasst wird und diese Zahlen bereits unter 1/e des Maximalwerts abgeklungen sind. Bei den Sterbefällen gibt es nur 14 solche Datensätze, von denen 11 aus Europa stammen. Mit diesen Daten können wir jetzt der Frage nachgehen, ob und wie staatliche Maßnahmen den Epidemieverlauf beeinflusst haben, wobei ich mich des aktualisierten Oxford Stringency and Policy Index (OSPI) bediene. Dieser Index bildet das Regierungshandeln tagesgenau in vielen der 206 Länder ab, für die Epidemiedaten existieren. Allerdings verlieren wir hier Guinea Bissau, das zumindest bisher im Strenge- und Politik-Index der Universität Oxford nicht auftaucht.

Korrelation von Epidemieverlauf und Regierungshandeln

Bevor wir die Daten anschauen, müssen wir einen wichtigen Punkt diskutieren, der eigentlich unter Intellektuellen bekannt ist, aber in der Corona-Krise gern vergessen wird. Korrelation ist nicht Kausation. Dass in den 1970er Jahren die Zahl der Störche und die Zahl der Geburten parallel zurückgingen, belegt nicht, dass Babys tatsächlich von Störchen gebracht werden. In diesem Fall bestand gar kein Zusammenhang – die Korrelation war rein zufällig. Häufiger sind zwei andere Probleme beim Rückschluss von Korrelation auf Kausation. Das erste ist, dass die beiden korrelierten Größen durch die gleiche dritte Größe bedingt sein können, an die man nicht denkt. Das zweite Problem ist die Richtung der Kausation. Ein schneller Anstieg von Infektionszahlen kann durchaus zu eine strengeren Regierungshandeln führen. Die Anstiegszeit und die Strenge des Regierungshandelns könnten dann antikorreliert sein (schnellerer Anstieg in strengeren Ländern), was aber nicht bedeuten würde, dass die strengeren Maßnahmen den Anstieg beschleunigt haben. Wenn man Korrelationen entdeckt, muss man sie also umsichtig diskutieren.

Entdeckt man keine, bedeutet das in aller Regel, dass die Maßnahmen wirkungslos waren. Auch hier ist aber etwas Vorsicht angebracht. In fast allen Fällen kam ein Bündel von Maßnahmen zur Anwendung. Betrachten man nur den Gesamtindex der Strenge, so kann es sein, dass keine signifikante Korrelation sichtbar ist, obwohl einzelne Maßnahmen einen positiven – und andere einen negativen – Effekt hatten. Ich betrachte deshalb auch die einzelnen Maßnahmearten, die im OSPI separat ausgewiesen werden.

Korrelationen suche ich für sechs Parameter des Epidemieverlaufs. Für die Zahl der positiven SARS-Cov2-Tests und der Covid-19 zugeschriebenen Todesfälle beziehe ich jeweils die Anstiegs- und Abfallzeit ein. Das Ziel des Handelns war eine Verringerung der Übertragungsrate der Infektion (des R-Werts). Wenn das Ziel erreicht wurde, muss man das an diesen Parametern erkennen können. Für die Zahl der positiven SARS-Cov2-Tests untersuche ich auch Nmax. Das ist eine sehr unvollkommene, aber doch die beste breit verfügbare Kennzahl zur Abschätzung der Belastung des Gesundheitssystems. Bezüglich der Sterbefälle beziehe ich deren Gesamtzahl bis zum letzten betrachteten Tag (31. Mai, Tag 152) ein. Diese ermittle ich modellunabhängig aus den Grunddaten durch Aufsummieren. Das Modell würde ich nur für eine Vorhersage der Gesamtzahl nach dem vollständigen Abklingen der Epidemie benötigen, was aber heute nicht mein Ziel ist.

Nun muss ich noch den Zeitverlauf für jeden Einzelindex im OSIP sowie für den Gesamtstrengeindex auf eine Zahl reduzieren, die ich mit den Parametern korrelieren kann. Mechanistisch gesehen sollten die Maßnahmen kumulativ wirken. Je länger eine Maßnahme in Kraft ist, desto länger sollte der R-Wert nach der Hypothese der WHO verringert sein und umso stärker sollte der Einfluss auf den Epidemieverlauf sein. Davon geht auch jede Erklärung des Regierungshandelns aus. Allerdings kann der ansteigende Zweig nicht vom Verlauf der Maßnahmen im abfallenden Zweig abhängen – das wäre antikausal. In der Tat können sich Maßnahmen nur mit einer gewissen Verzögerung im Epidemiegeschehen bemerkbar machen, weil es eine Inkubationszeit, eine mittlere Zeit bis zum Test und eine Verzögerung zwischen Testdatum und Meldedatum gibt. Für die Zahl der positiven SARS-Cov2-Tests nehme ich 8 Tage an, für die Sterbefälle eine zusätzliche Verzögerung von 11 Tagen. Ich habe geprüft, dass Änderungen dieser Parameter im Rahmen vernünftiger Grenzen an den Schlussfolgerungen nichts ändern. Für die Anstiegszeiten addiere ich also OSIP-Einträge bis zum Tag tmax – 8 (SARS-Cov2-Tests) bzw. tmax – 19 (Sterbefälle), für die Abfallzeiten bis zum Tag 146 bzw. 135, sofern nicht der Abfall auf 10% vor dem Tag 152 geschehen war.

Dieser etwas lange technische Abschnitt muss um noch einen Punkt erweitert werden. Die Abhängigkeit der Parameter vom kumulativen OSIP-Wert muss nicht linear sein. Den funktionalen Zusammenhang kann man aber untersuchen, nachdem man eine signifikante Korrelation gefunden hat. Gar keine Korrelation entspricht einem Korrelationskoeffizienten von Null, perfekte positive Korrelation einem Koeffizienten von 1 und perfekte Antikorrelation einem Koeffizienten von -1. Mit kleinen Sätzen streuender Daten findet man allerdings auch dann von Null verschiedene Werte, wenn es keine Korrelation gibt. Das ist in Abbildung 6 anhand der Investition in Impfstoffe veranschaulicht. Da es noch keinen Impfstoff gibt, können solche Investitionen auch keine Auswirkung auf den Epidemieverlauf gehabt haben. Gleichwohl ist die Gesamtzahl der Todesfälle in einem Land mit einem Korrelationskoeffizienten von -0,194 zu solchen Investitionen antikorreliert. Retten also höhere Investitionen in Impfstoffe schon Leben, obwohl sie noch gar nicht erfolgreich waren? Natürlich nicht. Bei den einzelnen Indikatoren werde ich deshalb nur Zusammenhänge erwähnen, bei denen der Betrag des Korrelationskoeffizienten wenigstens 0,333 überschreitet. Angesichts dessen, dass die Interventionen drastisch und sehr teuer waren, können schwache Korrelationen ohnehin nicht zu ihrer Rechtfertigung herangezogen werden, selbst wenn sie signifikant sein sollten.

Verzögertes Abklingen

Für die Anstiegszeit der positiven SARS-Cov2-Tests (Korrelationskoeffizient 0,242) und die Abfallzeit der Covid-19-zugeordneten Todesfälle (0,305) ergeben sich schwach positive Korrelationen mit dem Gesamt-Strenge-Index (Oxford Stringency Index, OSI), die ich hier nicht weiter diskutiere, weil sie vermutlich gar nicht signifikant sind (Abbildung 7). Diesen Punkten kann man nachgehen, wenn mehr Daten vorliegen. Auch die maximale Zahl positiver Tests, normiert auf die Bevölkerungszahl ist nur schwach und vermutlich insignifikant mit dem OSI antikorreliert (-0,212). Allerdings scheint sich die Abfallzeit der positiven Tests signifikant mit steigendem OSI zu erhöhen (0,714). Das ist ein unerwünschter Effekt, weil es einer Verlängerung der Epidemie und einer längeren Belastung des Gesundheitssystems entspricht. Bei den Covid-19 zugeschriebenen Todesfällen ist die Verlängerung der Abfallzeit nicht oder kaum signifikant (0,305). Dafür scheint es hier eine signifikante Verlängerung der Anstiegszeit zu geben (0,815), was ein erwünschter Effekt wäre. Von Interesse ist allerdings die Gesamtzahl der Todesfälle bezogen auf die Bevölkerungszahl und dafür ist kein Effekt zu sehen (-0.015). Aus diesen Befunden lässt sich keine Rechtfertigung für strenge Maßnahmen ableiten. Insbesondere kann man nicht behaupten, dass solche Maßnahmen zu weniger Todesfällen führen. Dafür gibt es keinen statistischen Beleg.

Schulschließungen

Ich betrachte jetzt die einzelnen OSIP-Indikatoren der Klassen C (im Wesentlichen „social distancing“-Konzepte) und H (gesundheitspolitische Maßnahmen). Die Klasse E (ökonomische Maßnahmen) lasse ich aus, weil sie zumindest so kurzfristig keinen Einfluss auf den Epidemieverlauf haben sollten. Schulschließungen weisen eine schwache Antikorrelation (-0,419) mit der Maximalzahl Nmax positiver Tests, eine deutliche Korrelation mit der Anstiegszeit der Todeszahlen (0,764) und eine signifikante Korrelation mit der Abfallzeit der Todeszahlen (0,642). Auch der Abfall der Zahl positiver Tests ist schwach korreliert (0,401), nicht aber der Anstieg (0.034). Insgesamt kann man nicht ausschließen, dass Schulschließungen einen Einfluss auf das Epidemiegeschehen haben. Selbst wenn es den gibt, ist er aber nicht konsistent und es ist nicht eindeutig, ob er nun positiv oder negativ ist.

Arbeitsplatzschließungen

Die Anstiegszeit der positiven Tests zeigt schwache Korrelation (0,441), wie auch die Abfallzeit (0,494). Die Anstiegszeit der Todesfälle weist eine stärkere Korrelation auf (0,710), die Abfallzeit eine schwache (0,494).

Absage öffentlicher Veranstaltungen

Hier findet man eine Korrelation mit der Abfallzeit der positiven Tests (0,813) sowie der Anstiegszeit (0,658) und Abfallzeit (0,665) der Todesfälle.

Einschränkung von Zusammenkünften

Es finden sich eine schwache Korrelation mit der Abfallzeit der positiven Tests (0,410) und eine Korrelation mit der Anstiegszeit der Todesfälle (0,673).

Schließung des öffentlichen Verkehrs

Es gibt Korrelationen mit der Anstiegszeit der positiven Tests (0,651) und der Todesfälle (0,751) sowie der Abfallzeit der Todesfälle (0,536).

Ausgangssperren

Korrelationen sind mit der Anstiegszeit der Todesfälle (0,771) und der Abfallzeit der positiven Tests (0,489) zu beobachten.

Einschränkungen der internen Mobilität

Die Abfallzeit der Zahl positiver Tests (0,522), die Anstiegszeit der Todesfälle (0,627) und die Abfallzeit der Todesfälle (0,694) weisen Korrelationen auf.

Beschränkung des internationalen Reiseverkehrs

Die Abfallzeit der Zahl positiver Tests (0,454), die Anstiegszeit der Todesfälle (0,338) weisen Korrelationen auf und die maximale Zahl der positiven Tests (-0,408) eine Antikorrelation.

Öffentliche Informationskampagnen

Die Anstiegszeit der Todesfälle (0,396) und die Abfallzeit der Zahl positiver Tests (0,793) weisen Korrelationen auf. Der zweite Befund ist auffällig und nicht intuitiv. Das würde bedeuten, dass die Epidemiewelle umso langsamer abklingt, je besser die Leute informiert wurden.

Testpolitik

Die Anstiegszeit der Todesfälle (0,538) und die Abfallzeit der positiven Tests (0,807) sind korreliert. Der zweite Befund dürfte die Auffälligkeit bei den öffentlichen Informationskampagnen erklären. Je aktivistischer eine Regierung, desto langsamer klingt die Epidemie scheinbar ab. Eine Epidemie kann durch Ausweitung der Tests oder durch zielgerichtetere Tests scheinbar länger andauern, indem der Anteil erfasster Infektionen systematisch ansteigt (von falsch positiven Tests ganz zu schweigen).

Kontaktverfolgung (Contact tracing)

Die Anstiegszeit der Todesfälle (0,341) und die Abfallzeit der positiven Tests (0,734) sind korreliert, die Abfallzeit der Todesfälle jedoch nicht (-0,025). Auch diese Maßnahme verlängert die Epidemie scheinbar.

Notfallinvestitionen in das Gesundheitswesen

Die Anstiegszeit (0,376) und Abfallzeit (0,344) der Todesfälle sind schwach korreliert. Sehr wenige Länder haben sehr hohe Summen investiert. Diese Korrelationen sind sicher insignifikant.

Insgesamt fällt auf, dass sehr viele Indikatoren mit der Anstiegs- und Abfallzeit der Todesfälle korreliert sind, während zumeist entsprechende Korrelationen für die Anstiegszeit der positiven Tests fehlen oder deutlich schwächer sind. Das legt nahe, dass die Korrelation in den Todesfallkurven nur zufällig ist. Dafür spricht auch, dass kein einziger Indikator signifikant mit einer Verringerung der Gesamtzahl an Todesfällen korreliert ist.

Die maximale Zahl positiver Tests ist nur mit Schulschließungen und Beschränkungen des internationalen Reiseverkehrs antikorreliert, jeweils mit Korrelationskoeffizienten, deren Betrag 0,5 nicht übersteigt.

Sicher sagen kann man eigentlich nur eins: Eine aktivistische Regierungspolitik verzögert den Abfall der Zahl positiver SARS-Cov2-Tests. Welcher Mechanismus auch immer dem zugrunde liegt, es ist kein positives Ergebnis.

Anhang A

Für t <= tmax werden die Tagesdaten mit der logistischen Funktion A/[1-exp{-(t-t1/2)/Trise}] angepasst, für t > tmax mit der Funktion A·exp{-(t-t0)/Tdecay}. Dabei werden A und t0 so gewählt, dass beide Kurvenzweige zusammen eine minimale Fehlerquadratabweichung von den Datenpunkten aufweisen. Die Auswahl von tmax erfolgt so, dass der Amplitudensprung zwischen dem ansteigenden und dem abfallenden Ast minimal ausfällt. Die Anstiegszeit wird numerisch ermittelt, indem die Kurve mit einer Auflösung von 1/10 Tag berechnet wird und im ansteigenden Ast die Punkte gesucht werden, deren Amplitudenabweichung von 0,1·Nmax und 0,9·Nmax minimal ist, wobei Nmax die maximale Amplitude der Gesamtkurve ist. Die Abfallzeit ist ln 9·Tdecay.

Anhang B

Datensätze wurden ausgeschlossen, wenn die maximale Anzahl positiver SARS-Cov2-Tests an einem Tag unter 100 liegt. Bei Todesfallkurven wurde eine maximale Tagesanzahl von 25 verlangt. Ob das Modell adäquat ist, wurde durch Vergleich der Modellkurve mit der Kurve des gleitenden 7-Tage-Mittels festgestellt. Dazu wurde die Modellkurve auf einen Maximalwert von 1 normiert. Die gleiche Skalierung mit 1/ Nmax wurde auf das 7-Tage-Mittel angewandt. Die Summe der quadratischen Abweichungen aller Punkte beider skalierten Kurven wurde durch die Anzahl der Datenpunkte geteilt und die Wurzel gezogen. Modellkurven für die Anzahl positiver SARS-Cov2-Tests wurden akzeptiert, wenn die so ermittelte mittlere Abweichung pro Datenpunkt unter 0,05 lag. Modellkurven für Todesfälle wurden akzeptiert, wenn sie unter 0,075 lag.

Die Anstiegszeit wurde als zuverlässig angesehen, wenn der letzte Datenpunkt mindestens 7 Tage nach tmax lag. Die Abfallzeit wurde als zuverlässig betrachtet, wenn der letzte Datenpunkt mindestens nach tmax + Tdecay lag. Kurven, bei denen die Anstiegs- oder Abfallzeit unzuverlässig war, wurden nicht in die Analysen in Abbildungen 5-7 einbezogen.

Alle Matlab-Skripte und die Versionen der verwendeten Datensätze sind auf Wunsch beim Autor erhältlich. Ein GitHub-Paket ist in Vorbereitung.

18:42 07.06.2020
Dieser Beitrag gibt die Meinung des Autors wieder, nicht notwendigerweise die der Redaktion des Freitag.
Geschrieben von

Gunnar Jeschke

Naturwissenschaftler, in der DDR aufgewachsen, gelebt in Schwarzheide, Dresden, Wako-shi (Japan), Bonn, Mainz, Konstanz und Zürich.
Gunnar Jeschke

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