Addition mit Grazie

Mathematik Magische Quadrate sind oll und höchstens ein spleeniger Zeitvertreib für Mathematik-Professoren? Ein Laie zeigt, was für Schätze sie noch bergen

Als er 20 Jahre alt war, zog Lee Sallows von London in die Niederlande und warf jede Menge LSD ein. Während eines Trips fing er an, magische Quadrate zu entwerfen – eine mathematische Spielerei, von der er kurz zuvor in einem Magazin gelesen hatte.

Magische Quadrate sind Gitter aus Zahlen, in denen jede Zeile, Spalte und Diagonale dieselbe Summe ergibt. Seit Tausenden von Jahren sind Mathematiker, Künstler und Mystiker fasziniert von den Mustern, die dabei entstehen, und es ist wohl kein Zufall, dass Sallows unter dem Einfluss von Drogen ihrem Zauber erlag. Aber erst nachdem die Wirkung des LSD sich gelegt hatte, steigerte sich die Faszination zur Obsession. Er beschäftigte sich so intensiv mit dem Thema, dass er nach ein paar Jahrzehnten sogar eine neue Gruppe von Quadraten schuf, die ein neues Kapitel in einer der ältesten Disziplinen der Mathematik eröffnen. Dabei tat Sallows eigentlich etwas sehr einfaches. Er füllte seine Quadrate mit geometrischen Formen. Die Reihen, Spalten und Diagonalen mussten nicht mehr dieselbe Summe ergeben, sondern zusammen jeweils dieselbe master-shape.

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Sallows nannte seine Erfindung das geomagische Quadrat. Es ist eine völlig neue Art, die Feinheiten magischer Quadrate zu begreifen. Für Peter Cameron, Mathematik-­Professor am Queen Mary College der University of London, sind geomagische Quadrate „ein wunderbares Stück Mathematik, das Nichtmathematiker begeistern kann und Mathematikern Gedankenfutter gibt“. Trotz der gewissen Schrulligkeit, die der Sache eigen ist, zeigt er sich fest davon überzeugt, dass hier ernsthafte mathematische Fragen geklärt werden können.

Es gibt vielleicht kein anderes Gebiet der Mathematik, das sich schon so lange so großer Beliebtheit erfreut. Begonnen hat alles vor 4.000 Jahren in China, wo der Legende nach eine Schildkröte aus dem Gelben Fluss kroch, die Punkte auf dem Bauch hatte. Sie waren angeordnet wie ein magisches Quadrat. Die Chinesen nannten dieses Quadrat das lo shu. Sie glaubten, es enthalte die Harmonien des Universums. Feng shui, zur Anordnung von Objekten wie den Möbeln in einer Wohnung, ist auf dem lo shu aufgebaut. Aber nicht nur die Chinesen bewunderten magische Qudrate: In Indien trug man Amulette mit magischen Quadraten als schützenden Zauber, in der Türkei bestickten Jungfrauen die Hemden der Krieger mit ihnen und in Europa wiesen ihnen Astrologen während der Renaissance Planeten zu. 1514 erstellte der Künstler und Mathematiker Albrecht Dürer sein berühmtestes Werk, Melencolia I: Es ist der Holzschnitt eines besorgt dreinschauenden Engels, der mit wissenschaftlichen Gegenständen umgeben ist. Darunter befindet sich auch ein magisches Quadrat aus 4 mal 4 Zahlen. In diesem besonderen Quadrat ergeben nicht nur die Reihen, Spalten und Diagonalen jeweils die Summe 34, sondern auch die vier Eckzahlen und die vier Zahlen im inneren, linken oberen, rechten oberen, linken unteren und rechten unteren Quadrat. Dürer verewigte sogar das Jahr – 1514 – in der unteren Zeile.

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Einige große Mathematiker – wie Leonhard Euler im 18. und Édouard Lucas und Arthur Cayley im 19. Jahrhundert – beschäftigten sich mit magischen Quadraten, aber hauptsächlich blieb das Feld passionierten Laien überlassen. Der namhafteste Afficionado war wohl der Gründervater der Vereinigten Staaten von Amerika, Benjamin Franklin. An einem Abend schuf er ein 16 mal 16-Quadrat, von dem er behauptete, es sei „das magischste magische Quadrat, das je von einem Magier gemacht wurde“. Sallows ist ebenfalls ein Amateur, der mit 17 von der Schule abging und sich die Mathematik selbst aneignete. Er arbeitete an der Universität von Nijmengen als Elektroniker in der Wartung und ging vor zwei Jahren in Rente. Es ist bemerkenswert, dass ein Nichtmathematiker diesem etablierten Gebiet neue Impulse gibt, doch betrachten die meisten akademischen Mathematiker magische Quadrate eben als zu trivial, um ihre Zeit darauf zu verwenden.

Alphamagie im Viereck

Das gewöhnliche magische Quadrat hat n Zeilen und n Spalten und muss jede Zahl von 1 bis n2 enthalten. Das 3 mal 3er-Quadrat enthält also jede Zahl von 1 bis 9 und das 4 mal 4er jede Ziffer von 1 bis 16. Sallows sagt, ihn habe die Symmetrie der magischen Quadrate sofort angesprochen und als es ihn richtig gepackt hatte, habe er sich neue Regeln und Modifikationen ausgedacht. Ihm gebührt bereits der Ruhm für die Erfindung des alphamagischen Quadrats, das doppelt magisch ist: Die Zeilen, Spalten und Diagonalen ergeben jeweils 45, wenn man nach der Bedeutung der Wörter geht. Wenn man aber die Anzahl der Buchstaben eines jeden Wortes in Rechnung stellt, ergibt sich ebenfalls ein magisches Quadrat mit der Quersumme 21. Außerdem haben die Worte drei bis elf Buchstaben.

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Obwohl ihm das alphamagische Quadrat einen gewissen Ruhm in der Szene eingebracht hat, findet er es selbst „ ein bisschen dumm“. Aufregender sei es, sich die Algebra hinter den magischen Quadraten anzusehen. Édouard Lucas hatte die Formel entdeckt, die ein magisches Quadrat ergibt, wenn man für a, b und c Zahlen einsetzt: Mit a = 5, b = –1 und c = –3, erhält man das lo shu. Sallows spielte mit der Formel von Lucas herum: „Es ist völlig unglaublich, dass noch niemand auf diesen Gedanken gekommen war. Ich hatte den Kopf voller Möglichkeiten.“ Wenn jede Zahl im Quadrat von einem Strich dieser Länge repräsentiert wird, dann ergeben sie zusammengesetzt einen längeren Strich, der in jeder Zeile, Spalte und Diagonalen gleich lang sein wird. Wenn jede Zahl n durch eine Form mit der Fläche n ersetzt wird, haben die Flächen jeder Zeile, Spalte und Diagonalen zusammengenommen die gleiche Gesamtfläche. Darüber hinaus sollten die Formen auch so zusammenpassen, dass sich in jedem Fall die gleiche Gesamtform ergibt. „Das war sehr kompliziert“, sagt er. Selbst mithilfe des Computers dauerte es sehr, sehr lange, bis er Formen gefunden hatte, mit denen es funktioniert und als es soweit war, sei er wirklich vom Stuhl gefallen.

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Lange hatte er gedacht, es gebe nur wenige magische Quadrate. Dann aber fand er Tausende. Das lo shu ist das einzig mögliche 3 mal 3er Quadrat, wenn man alle Zahlen von eins bis neun verwendet, ausgenommen Quadrate, die man durch Rotation und Spiegelung erhält. Diese gelten mathematisch als Äquivalente. Als Sallows sein 3 mal 3er Quadrat aber mit neun Polyominos füllte – das sind Flächen, die aus einer bestimmten Zahl Kästchen bestehen – fand er heraus, dass es bei einer Zielform, einem Rechteck aus 3 mal 5 Kästchen, 1.411 geomagische Quadrate gibt. Für eine Zielform von 4 mal 4 Kästchen, bei dem innen ein Kästchen fehlt, fand er 4.370 geomagische Quadrate, für ein 4 mal 4 großes Zielquadrat, bei dem ein Eckstück fehlt, waren es 27.110 – und 16.465, wenn der Form am Rand ein Kästchen fehlt.

Sallows zufolge haben diese Entdeckungen ein völlig neues Licht auf die Magischen Quadrate geworfen. „Niemand hat je verstanden, was ein magisches Quadrat ist. Wir haben immer angenommen, es handele sich um numerische Objekte. Tatsächlich sind es geometrische Objekte und nur ein kleiner Teil davon ist numerisch.“ Vergangene Weihnachten hat Sallows eine Galerie ins Internet gestellt. Seitdem haben mehr als 34.000 Leute aus 129 Ländern seine Seite besucht – ein viraler Erfolg in der Welt der Entspannungsmathematik.

Aber haben seine Erkenntnisse auch einen praktischen Nutzen? Sallows selbst verneint das vehement, aber Peter Cameron von der University of London ist vorsichtiger: „Euler entdeckte Lateinische Quadrate, als er sich einen neuen Aufbau von magischen Quadraten ausdachte. Und die finden nun breite Anwendung auf vielen Gebieten, einschließlich dem experimentellen Design. Vielleicht gibt es „Geo-Lateinische Quadrate“, für die es eine Anwendung gibt.“ Eines hat Sallows aber sicherlich bewiesen: dass nämlich die uralte Faszination für magische Quadrate noch lange nicht ausgeschöpft ist.

Alex Bellos ist Autor des Guardian

Übersetzung: Holger Hutt

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13:45 03.05.2011
Geschrieben von

Alex Bellos | The Guardian

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The Guardian

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