Der Klang einer Primzahl

Musik Es kommt nicht nur auf den Schlussakkord an: Mathematik und Melodie haben viel gemeinsam. Nicht nur die Symmetrie

Als Trompeter im Jugendorchester meiner Heimatstadt verbrachte ich viel Zeit mit Zählen. Und schon während ich damals zwischen den anderen Bläsern hockte und die Pausen abzählte, um nicht zu früh mit einer Fanfare einzusetzen, dämmerte mir, dass es mit dem Zusammenhang zwischen Musik und Mathematik mehr auf sich haben musste.

Ich war natürlich nicht der Erste, der sich darüber Gedanken machte. Im 17. Jahrhundert hatte der große Mathematiker Gottfried Leibnitz bereits geschrieben, Musik sei „eine verborgene Rechenkunst des seines Zählens unbewussten Geistes“. Die Verbindung, die man in jener Zeit zwischen Musik und Mathematik erkannte, ging aber über bloßes Zählen hinaus. Der französische Barock-Komponist Rameau erklärte 1722: „Ich muss gestehen, dass meine Ideen nur mit Hilfe der Mathematik Klarheit erhielten.“

Besteht da also tatsächlich eine Beziehung? Oder ist es unsinnig, die kreative Form der Musik mit der kalten Logik der Mathematik zu verbinden? Eindeutig hat die musikalische Grammatik – der Rhythmus oder die Tonhöhe – mathematische Grundlagen. Hört man zwei Töne, die eine Oktave auseinanderliegen, meint man, den gleichen Ton zu vernehmen – die beiden unterschiedlichen Töne tragen sogar den gleichen Namen. Der Eindruck, sie seien identisch, entsteht dadurch, dass ihre Frequenzen sich im Verhältnis eins zu zwei zueinander befinden.

Mehr als Takt und Ton

Doch auch wenn die Tonfolgen, die uns seit Jahrhunderten faszinieren, alle anhand von Zahlen erklärt werden können, ist Musik mehr als Takt und Ton, genau wie Shakespeares Werke mehr sind als Wörter aus einem Lexikon. Die wahre Verbindung zwischen Musik und Mathematik offenbart sich meiner Ansicht nach in der Zusammenstellung der Töne, aus der dann etwa die Goldberg-Variationen und Don Giovanni entstehen.

So mancher, der die Musik für achsoviel reichhaltiger und gefühlvoller hält als die Mathematik, reagiert verärgert auf diese Sichtweise und meint, wer einen solchen Vergleich anstellt, habe das Wesen der Musik nicht verstanden. Als Mathematiker bin ich hingegen der Ansicht, dass jene, die so argumentieren, das Wesen der Mathematik nicht verstanden haben.

So wie Musik nicht nur aus Noten und Rhythmus besteht, besteht Mathematik nicht nur aus Arithmetik und Zählen. In der Mathematik geht es um Strukturen und Muster. Die Erkundung des Zahlenuniversums hat Spannendes und Überraschendes über Zahlen zutage gefördert. Man denke nur an die Entdeckung des französischen Mathematikers Fermat, dass eine Primzahl, nachdem sie durch vier geteilt worden ist und noch einen Rest von eins hat (wie die Zahl 41), immer als Summe von zwei Quadratzahlen dargestellt werden kann (16 + 25 = 41). Hiermit war eine Verbindung der scheinbar voneinander getrennten Welten der Prim- und Quadratzahlen gefunden!

So wie es in der Musik nicht darum geht, den Schlussakkord zu erreichen, geht es in der Mathematik um mehr als das bloße Ergebnis. Der Mathematiker ist fasziniert vom Lösungsweg. Ich selbst lese mathematische Beweisführungen immer wieder, ähnlich wie ich ein Musikstück höre, und versuche zu verstehen, wie die verschiedenen Themen eingeführt und abgewandelt, miteinander verwoben und transformiert werden. Die meisten Menschen wissen nicht, dass Mathematik einem viele Entscheidungen abverlangt: Nicht darüber, was wahr oder falsch ist (die Riemann’sche Vermutung kann nicht falsch sein, wenn sie zutrifft), sondern darüber, welches Stück Mathematik „hörenswert“ ist.

Getrieben von der Ästhetik

Man kann einen Computer dazu bringen, unendlich viele Aussagen über Zahlen auszuspucken, so wie man ihn darauf programmieren kann, Musik zu verfassen. Die Kunst des Mathematikers besteht darin, jene Mathematik herauszufiltern, die die Seele anregt. Die meisten Mathematiker verfolgen keine utilitaristischen Ziele, sie werden von einem Sinn für Ästhetik getrieben. Im 19. Jahrhundert fasste der französische Mathematiker Henri Poincaré diese kreative Rolle zusammen, etwas zu „schaffen“ bedeute ja gerade, keine nutzlosen Kombinationen zu erstellen, sondern verlange Urteilsvermögen und Auswahl. „Sterile“ Kombinationen, meinte Poincaré, kämen dem Schöpfer gar nicht in den Sinn.

Für mich besteht die eigentliche Verbindung zwischen den beiden Welten darin, dass Komponisten und Mathematiker für ihre Kompositionen oft die gleichen Strukturen verwenden. Bach hat in den Goldberg-Variationen mit Symmetrien gespielt, um vom Thema zu den Variationen zu kommen. Messiaen verwendete Primzahlen, um seinem berühmten Quartett für das Ende der Zeit Unruhe und Zeitlosigkeit einzuhauchen. Dem Schöneberg’schen Zwölf-Ton-System, das viele bedeutende Komponisten des 20. Jahrhunderts wie Webern, Berg und Strawinsky beeinflusst hat, liegt eine mathematische Struktur zugrunde. Das organisch wirkende Wachstum der Fibonacci-Zahlenfolge 1, 2, 3, 5, 8, 13 usw. hatte als Grundstruktur großen Reiz für Komponisten von Bartók bis Debussy.

Rhythmus basiert auf Arithmetik, Harmonien schöpfen aus grundlegenden numerischen Zusammenhängen, in der Entwicklung musikalischer Themen finden sich Symmetrie und Geometrie. Strawinsky sagte einst, das Studium der Mathematik sei für den Musiker so nützlich wie das Erlernen einer Fremdsprache für den Dichter. Direkt unter der Oberfläche schwimme verführerisch die Mathematik.

Marcus du Sautoy ist Mathematikprofessor in Oxford und Experte für Primzahlen. 2008 folgte er dort auch Richard Dawkins auf den Lehrstuhl für Public Understanding of Science

Übersetzung: Zilla Hofman

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16:40 25.07.2011
Geschrieben von

Marcus du Sautoy | The Guardian

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