Magie mit dem Nichts

Zahlenspiele Die Null ist ein eigenartiges Gebilde, nicht wirklich nichts, nicht wirklich etwas

Günter Kröber

Nichts kann aus Nichts entstehn" lässt Shakespeare König Lear sinnieren, und diese Auffassung steht dem gesunden Menschenverstand recht nahe. Denn dass aus Einem Vieles werden kann, ist für Zahlen ebenso einleuchtend wie für die Welt der Dinge. Doch wie soll das Nichts am Entstehen und Vergehen beteiligt sein? Fragen wir also lieber nicht, was die Null selbst ist. Wir könnten vielleicht finden, dass die Eins aus ihr hervorgezaubert werden kann wie das berühmte Kaninchen aus dem Hut. Doch lohnt es sich, zu fragen, woher sie kommt, wie sie sich verhält und wie sie in unserem Alltag eine Rolle spielt.
Als die Null geboren wurde, war sie noch nicht einmal eine richtige Zahl, sondern ein bloßes Markierungszeichen, ein Lückenbüßer. Ihre Geschichte beginnt vor circa 2.500 Jahren bei den Babyloniern. Die Sumerer und Babylonier verfügten schon viele Jahrhunderte vorher über ein relativ hoch entwickeltes Zahlensystem, das auf Einsern, Zehnern und Sechzigern basierte. Die Eins wurde in ihm durch einen senkrechten Keil, die Zehn durch einen Winkel und die Sechzig wieder durch einen Keil dargestellt. Das System litt allerdings unter dem Mangel, dass, wenn zum Beispiel zwei Keile aufeinander folgten, nicht eindeutig klar war, ob es sich um die Zahl zwei, oder die 61 oder gar die 120 handelte. Irgendwann war nun ein pfiffiger Kopf auf die Idee gekommen, zwei Keile durch eine Leerstelle zu trennen, wenn der eine die Eins, der andere aber die Sechzig bedeuten sollte. Diese Innovation verhalf den Babyloniern zu einem Stellenwertsystem von der Art, wie es auch unser heutiges Zehnersystem ist. Von ihm aus war es nur noch ein kleiner Schritt, für die Lücke ein eigenes Zeichen einzuführen, das in seinen ersten babylonischen Tagen oder auch Jahrhunderten zwei schräg gestellte Keile waren (Abb. 1).
Ein Positionssystem mit einem richtigen Nullzeichen war auch die Zahlschrift der Maya in Mittelamerika, deren kulturelle Blütezeit in den Zeitraum vom 3. bis 9. Jahrhundert nach Christus fällt. Ob es möglicherweise mehr religiöse oder gar ästhetische Gründe gewesen sind, welche die Maya zu diesem System haben kommen lassen, darüber sind nur Vermutungen möglich. Ihr System unterschied sich von dem der Babylonier jedoch dadurch, dass das Leerzeichen nicht nur - wie bei den Babyloniern - innerhalb einer mehrstelligen Zahl stehen konnte, sondern auch an deren Ende. Die Form ihres Zeichens für die Null aber war unterschiedlich; selbst antropomorphe Darstellungen, ein Kopf etwa oder eine Hand, waren gebräuchlich (Abb. 2).
Als Platzhalter in Stellenwertsystemen verschlug es die Null aus dem Vorderen Orient nach Indien und China, von wo sie in Gestalt eines hohlen Kreises und geläutert als Zahl, welche die Abwesenheit von Etwas bezeichnete, nach dem Westen, nach Ägypten und Europa zurückkehrte. Doch den Römern blieb sie unbekannt; das römische Zahlsystem kennt keine Null. Die Griechen aber mochten sie wohl aus philosophischen Gründen nicht: Für Parmenides, den Eleaten, war einzig das Sein wirklich, das Nicht-Sein hingegen undenkbar.
Es war der italienische Kaufmann und Mathematiker Leonardo von Pisa, bekannt als Fibonacci, der die neun indischen Zahlen und mit ihnen das Zeichen für die Null auf seinen Handelsreisen im 12./13. Jahrhundert mit nach Europa brachte. Doch erst seit dem 15. Jahrhundert wird die Null hier in der rechnerischen Praxis wie eine richtige Größe behandelt.
Kaum als Zahl akzeptiert, benimmt sie sich jedoch wie ein Narr. Ihre hervorstechendste Eigenschaft ist, dass sie, an eine andere Zahl angefügt, deren Wert verzehnfacht. Doch diese Leistung allein verleiht ihr noch nicht die Prominenz, deren sie sich rühmt, denn schließlich bewirkt jede Zahl, wenn sie an eine andere angefügt wird, eine Werterhöhung derselben. Haarsträubend wird ihr Verhalten dann, wenn sie sich den mathematischen Operationen der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division stellt. Während jede Zahl, die zu einer anderen Zahl addiert oder von dieser subtrahiert wird, dieselbe um ihren eigenen Wert vermehrt beziehungsweise vermindert, kann eine Zahl eine Riesenmenge von Nullen in sich hineinschlingen oder aus sich ausspeien, ohne auch nur das Geringste zu- oder abzunehmen. Während jede andere Zahl, die mit einer anderen multipliziert wird, deren Wert vervielfacht, lässt die Null, mit einer beliebigen Zahl multipliziert, von derselben nichts übrig. Ihre tollste Nummer vollbringt sie bei der Division. Division durch Null, so haben wir in der Schule gelernt, ist verboten. Eine Zahl - gleich wie groß sie ist - durch Null zu teilen, heißt, sie an Null zu messen; sei sie noch so klein, so ist sie im Vergleich zum Nichts doch unendlich groß. So verkündet die Null, sie könne sich im Handumdrehen - man gestatte ihr nur, sich in den Nenner eines gewöhnlichen Bruches zu begeben - in ihr Gegenteil, die Unendlichkeit, verwandeln. "Null durch Null" gar kann schlicht alles sein, ebenso wie "Null mal Unendlich".
Aller Orten begegnet uns die Null im Alltag und stellt uns ihre Dienste zur Verfügung. Unsichtbar wirkt sie im Verborgenen, wenn Mathematiker, Ingenieure, Techniker mit Hilfe der Differential- und Integralrechnung Steigungen, Maxima und Minima von Funktionen bestimmen, die ihrerseits, als Gleichungen getarnt, die Statik eines Bauwerkes, die Dynamik der Bewegung eines Raumflugkörpers oder den Verlauf einer Epidemie beschreiben. Sie steht im Mittelpunkt eines jeden Koordinatenkreuzes, in dem Fieberkurven, Börsenkurse, Umsatzzahlen oder Umfrageergebnisse des Politbarometers aufgetragen werden. Sie trennt die positiven von den negativen Zahlen, die schwarzen von den roten. Sie ist in jedem Kunstwerk gegenwärtig, seit der italienische Architekt Filippo Brunelleschi im 15. Jahrhundert den Fluchtpunkt in seine Zeichnungen eingeführt hat, das heißt jenen Punkt, in dem sich parallele Linien im Unendlichen schneiden.
Und doch gibt es Bereiche des menschlichen Lebens, in denen sie einfach ignoriert wird. Warum gibt es im Lotto keine Null? Warum beginnen wir, wenn wir laut zählen, immer bei Eins und nicht bei Null, während doch in der umgekehrten Abfolge - beim Countdown - die Null der eigentliche Springpunkt ist? Wenn wir von einem Zeitgenossen sagen wollen, dass er ein Taugenichts ist, ein Nichtsnutz, ein Nichtskönner, so bezeichnen wir ihn als eine "Null". Wir mögen die Null oder suchen sie zu meiden je nach dem, ob das Nichts, das sie signalisiert, uns genehm ist oder nicht. Zitternd sehen wir auf unserem Außenthermometer die Quecksilbersäule in kühlen Vorfrühlingstagen sich in der Nähe der Null aufhalten. Ein Kontostand, der sich unaufhaltsam der Null annähert, dem Balancepunkt zwischen Soll und Haben, löst Entsetzen aus.
Der FDP-Vorsitzende bemüht die Null ebenfalls im Wahlkampf; er lässt sich mit dem Spruch zitieren: "Das rot-grüne Kabinett widerspricht allen Lehrsätzen der Mathematik: Die Summe von Nullen kann durchaus eine stattliche Anzahl erreichen", wohl wissend, dass erst das Produkt aus unendlich vielen Nullen eine beliebige Zahl ergeben würde (denn 0 x Unendlich = beliebig) und dass die Anzahl von Nullen im Regierungslager naturgemäß so groß nicht werden kann. Indes spielt die Null ihrerseits dem Vorsitzenden einen Streich. Dessen angestrebtes Wahlergebnis von 18 Prozent dürfte in den endlich vielen Wahllokalen kaum durchgängig zu erreichen sein. Es wäre für den Parteichef eher vorteilhaft, wenn unendlich viele Wahlkreise mit Null Prozent FDP abschließen, denn nach oben genannter Regel ergibt Unendlich mal Null ein beliebige Zahl, also möglicherweise auch die 18.
Entgegen unserer gängigen Vorstellung, dass aus dem Nichts nur nichts entstünde, hielt Gottfried Wilhelm Leibniz, auf den sich deutsche Akademien heute gern als auf ihren Gründer berufen, es für etwas Alltägliches, dass die Dinge um uns herum ständig aus dem Nichts erschaffen werden. Es war das Bild der Schöpfung, das ihm dabei vor Augen stand: Alles entstehe aus dem Nichts mit Hilfe des Einen. Oder: Aus Null und Eins sind alle Zahlen ableitbar. Nur auf Null und Eins aufbauend entwickelte er ein binäres Zahlensystem, ohne das die gesamte heutige Computertechnik undenkbar wäre und unser Alltag sich mithin ganz anders gestalten würde.
Werfen wir daher noch einen Blick auf die ganz neue Rolle der Null, die sie - von der Öffentlichkeit und im Alltag noch unbemerkt - auf meinem Schreibtisch und in meinem Computer zu spielen beginnt. Bei den Sumerern stand die Null als Stellenplatzhalterin zwischen zwei anderen Zahlen; bei den Maya durfte sie auch am Ende einer Zahl stehen, und seit den Indern ist sie sogar in die Gemeinschaft der richtigen Zahlen aufgenommen. Tauchen Nullen vor einer Zahl auf, werden sie jedoch gewöhnlich ignoriert: 00031415 ist genau so viel wie 31415. In einem bestimmten Kontext aber können Nullen, die vor einer Zahl stehen, ganz entscheidende Bedeutung erlangen. Dieser Kontext heißt "Strukturbildung durch Palindromisierung": Eine Zahl wird umgekehrt (also aus 314 wird 413) und Zahl und Umkehrzahl werden addiert oder subtrahiert. Mit dem Ergebnis wird in der gleichen Weise verfahren. Und so weiter. Bei geeigneter Wahl der Startzahl, der Abfolge von Additionen und Subtraktionen sowie der Basis des Zahlensystems, in dem sich der Prozess abspielen soll, und wenn man weiter die Ergebnisse zentriert untereinander anordnet und dabei jeder Ziffer eine Farbe zuordnet - zum Beispiel der Null die Farbe Schwarz, der Eins Weiß und so weiter -, kann es zur Bildung von Strukturen kommen, die in manchen ihrer Eigenschaften an Strukturen erinnern, die für natürliche Wachstums- und Evolutionsprozesse charakteristisch sind.
Unsere Abbildung zeigt eine solche Struktur vom Typ "Periode" (Abb. 3). Sie enthält ein sich periodisch und identisch reproduzierendes Kernmuster, das links von einer progressiv wachsenden Zahl von Nullen und rechts von entsprechend vielen Vieren eingeschlossen wird, wobei das Ganze durch eine sich ebenfalls identisch reproduzierende abschließende Außenhaut von der "Umwelt" abgeschirmt wird. Es würde zu weit führen, hier näher darauf einzugehen, welche Ähnlichkeiten dieser Strukturtyp zu DNS-Strukturen aufweist. Festzuhalten ist aber, dass er nur zustande kommt, wenn Nullen, die am Anfang einer Ergebniszahl stehen, bei deren Umkehrung nicht gestrichen, sondern so behandelt werden, wie alle anderen Zahlen auch. Würden wir in unserem Beispiel vordere Nullen jeweils liquidieren, so wäre der Prozess schon nach dem sechsten Schritt am Ende, weil die Null ins Nichts abstürzt.

Günter Kröber ist Mathematiker und Physiker. Von 1961 bis 1992 arbeitete er an der Akademie der Wissenschaften in Ost-Berlin