Mit dieser Welt können Sie rechnen

Freitag: Auf Samos verfiel Pythagoras der Idee, dass alles - der Kosmos und der Mensch inbegriffen - Zahl ist. Lässt sich aus Ihrer Sicht die gesamte Wirklichkeit mit Zahlen erfassen?
Günter M. Ziegler: Ich glaube, dass sich mit Mathematik ein großer Teil der Wirklichkeit komplett beschreiben lässt, und das ist sehr bemerkenswert. Mathematik ist aber weit mehr als nur die Welt der Zahlen, von der Pythagoras vermutlich sprach. Es ist die Welt der Logik, der Muster und Formen, der Gleichungen und Wahrscheinlichkeiten, die weit über abstrakte Gedankengebäude reicht. Vor allem in der Physik führten mathematische Methoden zu großen Erfolgen, die sich in einfachen Formeln niedergeschlagen haben: etwa die Maxwell´schen Gleichungen für Elektrodynamik oder die Einstein´schen Gravitationsgleichungen. Und Astrophysiker berechnen heute, wie sich Planetensysteme entwickeln und weshalb sich so überraschend klare Zahlenverhältnisse zwischen den Bahnen ergeben. Ein wenig hatte Pythagoras schon recht: In der Welt herrscht in der Tat eine erstaunliche Ordnung.

Das will nicht recht zu unserem Selbstverständnis passen: Wir erleben die Welt als unübersichtlich, chaotisch, keinesfalls als kalkulierbar.
Natürlich lässt sich nicht alles auf Formeln reduzieren, aber eben erstaunlich viel. Auf der Suche nach Erklärungen konkurrieren Mathematiker und Naturwissenschaftler. Mal führen die einen, mal die anderen. Die geometrischen Grundlagen der Gravitationstheorie etwa entwickelten Gauß und Riemann mit ihren mathematischen Theorien, lange bevor Einstein sie mit physikalischen Erkenntnissen verband. In der Biologie hingegen stellen wir seit zehn Jahren fest, wie ungeeignet unsere gängigen Modelle sind. Die Sequenzierung von Genen wirft nicht nur Rätsel für Biologen auf, sondern auch für Mathematiker. Da wird heiß diskutiert.

Diskutiert, nicht gerechnet?
Ja, das mag erstaunen. Anders als zu Gauß´ Zeiten kommen einem die besten Ideen seltener im einsamen Rechenstübchen, dafür oft im konzentrierten Gespräch mit Kollegen. In der Hektik der Universität gelingen solche Gespräche jedoch nicht allzu häufig.

Vielleicht braucht es Abgeschiedenheit. In einer Berghütte scherzte der Physiker Niels Bohr, dass sich beim Geschirrspülen sogar die Sprache der Quantenphysik bestätige. "Wir haben schmutziges Wasser und schmutzige Küchentücher", sagte er, "trotzdem werden Teller und Gläser sauber." Wie stellen Sie sich den perfekten Ort vor, um Mathematik zu betreiben?
Eine große Bibliothek, große Tafeln, an denen man Ideen ruhig einmal stehen lassen kann, um sie später zu diskutieren. Ferner einen wohlsortierten Weinkeller, eine ordentliche Küche und einen Billardtisch. Zum Glück gibt es solch einen Ort: in Oberwolfach, hoch oben und versteckt im Schwarzwald. Aber Mathematik lässt sich an den erstaunlichsten Orten betreiben.

Tatsächlich?
Ja, sogar im Bett. Gauß fand dort die Formel für die Konstruktion eines regelmäßigen 17-Ecks, das sich mit Zirkel und Lineal entwerfen lässt: 17 gleichlange Seiten, 17 Ecken, alle auf einem Kreis liegend. Gauß grübelte im Bett darüber nach. Irgendwann nachts fand er die Lösung und notierte am nächsten Morgen eine ellenlange Formel, die lauter verschachtelte Quadratwurzeln enthält, in sein mathematisches Tagebuch.

Was ist mit dem Strand?
An der Copacabana kritzelte Stephen Smale geometrische Diagramme auf Papier. So entdeckte er das "Hufeisen", eine ganz wichtige Stuktur in der Theorie der "dynamischen Systeme", in der es um die Mathematik der Bewegungen geht, um fahrende Autos und biologische Wachstumsprozesse, um periodische Bahnen, Gleichgewicht, Stabilität und Chaos.

Lassen Sie mich raten: in der Kirche?
Peter Gustav Lejeune Dirichlet erkannte während der Ostermesse in der Sixtinischen Kapelle, wie sich der berühmte Einheiten-Satz beweisen lässt, der die Einheiten in algebraischen Zahlenkörpern behandelt. Sehr komplizierte Materie. Vielleicht war er vom Weihrauch berauscht.

Im "Jahr der Mathematik", das sie initiiert haben, gibt es ein Matheschiff. Wurde jemals eine große mathematische Idee auf einem Schiff geboren?
Bestimmt, schon rein statistisch gesehen. Mir fällt allerdings jetzt nur das Gegenteil ein: Der Brite G. H. Hardy hat hart daran gearbeitet, die so genannte Riemann´sche Vermutung zu beweisen, in der es darum geht, wie regelmäßig Primzahlen vorkommen, also Zahlen, die sich nicht teilen lassen wie 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 und so weiter. Hardy glaubte, die gewaltige Aufgabe geknackt zu haben. Kurz nach seiner vermeintlichen Entdeckung sollte er auf einem Schiff den Atlantik queren. Er fürchtete sich aber dermaßen vor einem Untergang, dass er auf seinem Schreibtisch in England die Formel hinterlegte. Wenigstens der Nachruhm sollte ihm sicher sein. Bewiesen hat Hardy die Riemann´sche Vermutung übrigens nicht, sie bleibt eines der großen ungelösten Rätsel der Mathematik.

Ist Ihrer Meinung nach die Schule ein guter Ort für Mathematik?
Im Prinzip ja, wenn Lehrern nur die Zeit bliebe, ihren Schülern von der Vielfalt der Mathematik zu erzählen. Natürlich müssen Schüler Rechnen lernen, quadratische Gleichungen, Kurvendiskussion und dergleichen. Aber Mathematik ist viel mehr: Unser Leben ist ohne Mathematik nicht denkbar. Das muss vermittelt werden. Überall steckt hohe Mathematik drin: vom Wetterbericht bis zur Kühlerhaube, vom Handy bis zum Kinofilm, sogar die ideale Festigkeit von Schokolade lässt sich mathematisch bestimmen. Vermutlich gibt es keine Kulturgeschichte ohne Mathematik.

In Südamerika fehlt dem Naturvolk der Abiponen jeder Zahlbegriff, in Australien vermögen die Rumilara neben Einzelnem nur Paare und Dreiergruppen zu erfassen.
Überall dort, wo Kultur entsteht, Sprache sich entwickelt, ist Zählen und Rechnen die unabdingbare Basis, um sich die Welt zu erschließen. Wer nur eins, zwei und viele kennt, kommt nicht weit, er kann zum Beispiel keinen Handel betreiben.

Letztlich besteht ein Computerprogramm auch nur aus zwei Zahlen: 0 und 1. Ist der Computer ein Ort der Mathematik?
Inzwischen schon, ein ganz wichtiger sogar. Manches lässt sich immer noch mit Papier und Bleistift bewältigen. Aber die Numerik etwa - in der es um Rechenverfahren für große Datenmengen geht - ist ohne Computer sinnlos. Und wer heute geometrische Formen anschaulich machen will, baut kein Gipsmodell mehr. Da wird einfach die mathematische Software angeworfen und auf dem Bildschirm leuchtet eine Struktur in drei Dimensionen auf, die sich nach belieben drehen und wenden lässt.

Ist damit Leibniz Theorie der artifiziellen Intelligenz wahr geworden? An seinem Schreibtisch hat er einst entdeckt, dass sich Rechenprozesse viel einfacher mit einer binären Zahlenkodierung - also mit Nullen und Einsen - durchführen lassen.
Es liegen Welten zwischen dem, was sich Leibniz vorgestellt hat, und dem, was sich heute tut. Am Gymnasium hatten wir noch gedruckte Formelsammlungen mit Integraltafeln. Inzwischen können Taschenrechner die Integrale lösen - und die Tafeln überprüfen. Was vor dreißig Jahren mit simplen Computer-Algebrasystemen begann, mündet in einer rasanten Digitalisierung der Mathematik: Rechner erstellen Formeln und überprüfen sie, werten Gleichungen aus, setzen Unbekannte ein, optimieren. Ein mächtiges Werkzeug ...

... das die Phantasie beflügelt? In der "Politeia" beschrieb Platon die ideale Stadt, in der 5040 Menschen leben sollten. Niemand weiß, wie er auf die Zahl gekommen ist. Aber sie ist das Produkt aus 1 mal 2 mal 3 mal 4 mal 5 mal 6 mal 7. Wäre ein Mensch gestorben, hätten nur noch 5039 gelebt, eine zahlenmystische Katastrophe: 5039 ist eine Primzahl. Schauen Mathematiker heute in den Computer wie einstmals Magier in eine Glaskugel?
Nein, wir sind keine Mystiker - und mit Philosophen verbindet uns nicht allzu viel. Aber es gibt unter Mathematikern ein Wettrennen um immer größere Primzahlen und um das Faktorisieren großer Zahlen. Früher war es kaum mehr als ein zahlenspielerischer Kult, große Zahlen zu faktorisieren, heute ist dies enorm wichtig für Online-Banking und Internetverschlüsselung. Nicht Mystik treibt die Mathematik voran, sondern Technik. Kult-Zahlen gibt es nur in der Science-Fiction-Literatur, wie in den Romanen von Douglas Adams, in denen die Zahl 42 die Antwort auf die Frage nach "dem Leben, dem Universum und dem ganzen Rest" war. So etwas gefällt mir allerdings.

Physiker rätseln, ob eine andere Physik möglich ist. Ist eine andere Mathematik möglich?
Ich glaube, nein. Ganz gleich, wo Mathematik entstanden ist, ob in China, Indien oder Europa, letztlich widersprechen sich die Systeme nicht. Die einen mögen mehr Geometrie betreiben, die anderen mehr Algebra und Zahlentheorie, alles mag verschieden aussehen, verschiedene Zugänge haben und unterschiedlich entwickelt werden, aber am Ende ist alles Teil der einen Mathematik.

Dennoch: Inwiefern ist Mathematik an Kultur gebunden?
Das ist sie durchaus, denken Sie an die Ethno-Mathematik. Auf Marktplätzen in Angola finden sich wunderbare geometrische Muster im Sand: geschlossene Knoten, kunstvoll arrangiert, die sich in einer Ebene winden. Schön anzuschauen, auch für das europäische Auge - und pure Knotentheorie: ein verhältnismäßig unerschlossenes, sehr spannendes mathematisches Grenzland zur Physik. Vermutlich entwickelten manche Völker ungemeine geometrische Kenntnisse, die weit über unsere hinausreichen, obwohl sie nicht einmal mit Zahlentheorie vertraut sind. Auf der Landkarte der Mathematik sind viele Orte unbekannt.

Und manche Orte sind womöglich längst erschlossen, wovon aber niemand weiß.
Das ist möglich. Der Hannoveraner Mathematiker Heinrich Heesch etwa klassifizierte in den sechziger Jahren die sogenannten Ebenen-Pflasterungen, indem er alle mathematisch denkbaren Fliesenmuster erstellte. Später wurde festgestellt, dass alle Muster - bis auf eines - die maurischen Paläste der Alhambra in Granada zieren. Das Bilderverbot der Araber forderte Künstler wie Mathematiker. Offenbar verbinden sich ästhetisches Empfinden und mathematisches Kalkül.

Eine letzte Frage noch: Welches Buch lesen Sie gerade?
Ich habe begonnen, die Science-Fiction-Story "The Last Theorem" zu lesen von Arthur C. Clarke und Frederik Pohl. Legendäre Autoren, die sich einem uralten mathematischen Rätsel gewidmet haben. Mal schauen.

Das Gespräch führte Dirk Friedrich Schneider

Günter M. Ziegler ist Professor für Mathematik an der TU Berlin, Präsident der Deutschen Mathematiker-Vereinigung und Mitorganisator des "Jahres der Mathematik 2008"