Die Fussballweltmeisterschaft geht zu Ende

Können Sie Franz Beckenbauer und Sepp Maier helfen? Über deren Kenntnisse der Mathematik ist mir nichts bekannt, aber sie sollen wohl in der Lage gewesen sein, mehr Tore zu schießen bzw. zu verhindern als heutige Rasenkasper. Die folgende Aufgabe ist dem Buch "Humor in der Mathematik" von Friedrich Wille entnommen, welches für die fussballarme Zeit des Jahres noch weitere Aufgaben enthält:

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung endlicher Ereignisräume ist seit jeher ein Tummelfeld amüsanter Aufgaben. Auch verwandte Gebiete wie Kombinatorik und Spieltheorie sind mit Erfindungen dieser Art gesegnet. Ein ebenso anwendungsnahes wie hochaktuelles Beispiel zur Spieltheorie sei stellvertretend genannt:

Fußballtraining. Franz Beckenbauer und Sepp Maier üben Elfmeterschießen. Während Beckenbauer anläuft, kann Maier nicht sehen, in welche Ecke der Ball kommt. Er entschließt sich also schon vor dem Schuß, ob er in die linke oder rechte Torecke springen will.

Beckenbauer und Maier haben in langjähriger Erfahrung festgestellt:

Schießt der Franz in die linke Torecke und springt Sepp ebenfalls in diese Ecke, so ergibt dies in 20% der Fälle ein Tor, springt er in die rechte Ecke, fällt in 90 % der Fälle ein Tor.

Schießt Beckenbauer in die Mitte, so ergeben 60% der Fälle ein Tor, wenn Maier nach links hechtet, jedoch nur 50 % der Schüsse ein Tor, wenn er nach rechts springt.

Geht der Schuss in die rechte Torecke, gibt es in 90 % der Fälle ein Tor, wenn Maier nach links springt und in 10 % der Fälle, wenn er nach rechts springt.

1. Frage: Mit welchen relativen Häufigkeiten q₁ bzw. q₂ muß Maier nach links bzw. nach rechts springen (und zwar unregelmäßig verteilt), um die zu erwartende Torchance (in %) minimal zu halten? Wie lautet der Wert dieser »Torchance«, d.h. die mittlere Toranzahl pro Schuß?
2. Frage: Mit welchen relativen Häufigkeiten P₁, P₂, P₃ muß Beckenbauer in die linke Torecke, Tormitte oder rechte Torecke schießen, um eine maximale mittlere Torausbeute (mittlere Toranzahl pro Schuß) zu erreichen? Wie lautet dies Maximum?

Die hier im Keim erkennbaren Methoden gehören einem neuen Zweig der Wissenschaft an, die gelegentlich als »Ballematik« bezeichnet wird. Ein Fußballverein, der sich die Ergebnisse dieser Wissenschaft frühzeitig zu eigen macht, wird zweifellos der Überraschungssieger des Jahres werden.